1 é Igual a 0.99...?

Introdução

Obs: Este é o meu primeiro artigo, quaisquer sugestões e melhorias serão bem-vindas.

Você já parou para pensar na infinitude? A matemática nos leva a explorar territórios fascinantes e, às vezes, aparentemente paradoxais. Um desses enigmas intrigantes é a representação decimal periódica de 0,99... À primeira vista, pode parecer apenas um número comum, mas adentre o mundo dos infinitos, e você descobrirá uma fascinante igualdade que desafia a intuição:

O que Exatamente é $0,99...$ ?

Antes de adentrar nos cálculos é importante entender o que é uma dízima periódica e sua relação com o infinito.

Na matemática, $0,99...$ ou $0,9\overline{9}$ é definido como uma dízima periódica, onde um ou mais dígitos se repetem indefinidamente. Ou seja o número $0,9\overline{9}$ possui infinitos 9 após a virgula.

Okay, mas e agora? Como 1 é igual a 0,99...?

Resolução 1

Bom, uma das possíveis resoluções consiste em resolver utilizando equações, dessa forma podemos construir a seguinte equação de primeiro grau:

$x = 0,9\overline{9}$

Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos:

$10x = 9,9\overline{9}$

Sabendo que $x = 0,9\overline{9}$ podemos diminuir $x$ de ambos os lados da equação:

$10x - x = 9,9\overline{9} - 0,9\overline{9}$

Simplificando, temos:

$9x = 9$

Por fim dividindo por 9 ambos os lados obtemos:

$x = 1$

Dessa forma concluimos que 0,99... é igual a 1 utilizando equações de primeiro grau.

Resolução 2

Esta resolução consiste em utilizar cálculo e séries infinitas. Podemos definir que 0,99... nada mais é que um somatório de infinitas frações.

$0,99...= (\frac{9}{10^1} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} ...)$

Ou seja:

$0.99... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}$

Esta série é uma série geométrica infinita, e sua soma é dada pela fórmula:

$S = \frac{a}{1 - r}$

Onde $a$ é o primeiro termo da série e $r$ é a razão comum. No caso de 0.99..., temos que $a = \frac{9}{10}$ e $r = \frac{1}{10}$ . Substituindo esses valores, obtemos:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}}$

Simplificando a expressão:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}$

Portanto, a soma da série infinita é 1, e isso confirma que 0.999... é igual a 1.

Por Fim...

Neste artigo, exploramos o intrigante conceito de infinitude na matemática, com foco na representação decimal periódica de $0,99...$